Геометрия с нуля для 7 класса

Поговорим о двух классических признаках равенства треугольников и научимся видеть их в задачах. Несмотря на обманчивую простоту, увидеть равные треугольники на сложных картинках бывает непросто — именно это мы и будем тренироваться делать. Также мы немного поговорим о неравенстве треугольника.

Треугольник с двумя равными сторонами называется равнобедренным. Оказывается, такие треугольники обладают большим количеством свойств и признаков, которые помогают существенно сокращать решения задач про равные треугольники. Мы дадим определение серединного перпендикуляра и докажем, что напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона.

Как известно, «биссектриса это такая крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам». Что означает эта таинственная фраза и как это применять для решения задач мы и узнаем. Помимо этого мы докажем, что три биссектрисы треугольника обязательно пересекаются в одной точке. В задачах будет также предложено разобраться с аналогичными свойствами серединного перпендикуляра.

Традиционно это одна из самых сложных тем в 7 классе, так как именно тут по-хорошему нужно говорить про аксиомы и пятый постулат Евклида. Это всегда приводит к большой путанице, потому мы не будем вдаваться в тонкие подробности формализации, сосредоточившись на практических навыках и решении задач.

Мы научимся считать сумму углов треугольника и четырехугольника, вычислять одни углы через другие и применять это для решения задач.

Изучать все четырехугольники довольно сложно, потому мы начнем разговор о них с наиболее симметричными представителями: параллелограммами. Мы обсудим все классические свойства и признаки этих фигур, а также научимся их видеть в задачах.

Дополнительные построения это не наука, это искусство, в которых раскрывается вся красота геометрии! Тем не менее, есть несколько стандартных дополнительных построений, которые помогают упрощать задачи. Об одном из таких построений на этой неделе мы и поговорим.

Среди всего многообразия треугольников, особое место занимают треугольники с прямым углом. Свойства таких треугольников столь удивительны, а встречаются в задачах они настолько часто, что разговор о них заслуживает отдельной недели. Особое внимание мы уделим треугольнику с углами 30-60-90.

Трапеция это следующий по сложности вид четырехугольника после параллелограмма. Мы поговорим об обычных, равнобедренных и прямоугольных трапециях. В качестве бонуса мы также обсудим еще один полезный вид четырехугольника — кайт (он же дельтоид).

На этой неделе мы обсудим что такое осевая и зеркальная симметрия, параллельный перенос. Все это является базовыми дополнительными построениями, необходимыми для решения задач на олимпиадах. Нам встретятся и задачи на неравенства, в частности мы решим известную изопериметрическую задачу: как вписать в остроугольный треугольник треугольник минимального периметра?

Мы докажем теорему о средней линии треугольника и трапеции, выведем простой случай теоремы Фалеса. Обсудим понятие серединного и дополнительного треугольников, установим, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Заключительным аккордом нашего курса станет обсуждение еще одного важного дополнительного построения — поворота. Чаще всего по жизни возникает необходимость делать повороты в задачах, в которых встречается угол 90 или 60 градусов, их мы и будем решать. Завершим же неделю мы удивительным ответом на естественный вопрос: как внутри остроугольного треугольника выбрать точку с наименьшей суммой расстояний до его вершин?