СПЕЦКУРСЫ «ДИЛОГИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО»
Два взаимосвязанных спецкурса — единая образовательная линия, которую мы называем «Дилогия Лобачевского».
Это последовательная программа из двух курсов, где второй курс логически продолжает первый. Спецкурс «Инверсия» является предварительным условием для успешного прохождения спецкурса по «Геометрии Лобачевского».
Два взаимосвязанных спецкурса — единая образовательная линия, которую мы называем «Дилогия Лобачевского».
Это последовательная программа из двух курсов, где второй курс логически продолжает первый.
1. Спецкурс «Инверсия» (Ведет Давид Бродский)
Инверсия относительно окружности — важное преобразование, обобщающее понятие зеркальной симметрии относительно прямой. В современной олимпиадной геометрии инверсия является одним из самых мощных методов решения задач: за последние годы появилось множество изящных способов применять ее в самых разных конфигурациях. Курс знакомит участников с современным взглядом на инверсию и учит эффективно использовать ее при решении геометрических задач уровня финала ВсОШ и IMO.
2. Спецкурс «Геометрия Лобачевского» (Ведет Павел Бибиков)
Если заменить аксиому о параллельных ее отрицанием, то возникает совершенно новая геометрия со своими свойствами, теоремами и приложениями — геометрия Лобачевского. На спецкурсе участники познакомятся с основными понятиями геометрии Лобачевского и поговорят о том, как идеи геометрии Лобачевского помогают решать сложные задачи из стандартной евклидовой геометрии уровня финала ВсОШ и IMO.
Спецкурс «Инверсия» является предварительным условием для успешного прохождения спецкурса по «Геометрии Лобачевского», а также рекомендуется к прохождению будущим участникам III ступени летних геометрических курсов «Дабромат».
Для кого эти спецкурсы?
Это последовательная программа из двух курсов, где второй курс логически продолжает первый.
1. Спецкурс «Инверсия» (Ведет Давид Бродский)
Инверсия относительно окружности — важное преобразование, обобщающее понятие зеркальной симметрии относительно прямой. В современной олимпиадной геометрии инверсия является одним из самых мощных методов решения задач: за последние годы появилось множество изящных способов применять ее в самых разных конфигурациях. Курс знакомит участников с современным взглядом на инверсию и учит эффективно использовать ее при решении геометрических задач уровня финала ВсОШ и IMO.
2. Спецкурс «Геометрия Лобачевского» (Ведет Павел Бибиков)
Если заменить аксиому о параллельных ее отрицанием, то возникает совершенно новая геометрия со своими свойствами, теоремами и приложениями — геометрия Лобачевского. На спецкурсе участники познакомятся с основными понятиями геометрии Лобачевского и поговорят о том, как идеи геометрии Лобачевского помогают решать сложные задачи из стандартной евклидовой геометрии уровня финала ВсОШ и IMO.
Спецкурс «Инверсия» является предварительным условием для успешного прохождения спецкурса по «Геометрии Лобачевского», а также рекомендуется к прохождению будущим участникам III ступени летних геометрических курсов «Дабромат».
Для кого эти спецкурсы?
- 9-11 классники;
- Опытные олимпиадники, желающие научиться новым техниками и механикам решения геометрических задач;
- Школьники, желающие расширить свой кругозор и узнать новые интересные математические сюжеты на стыке разных областей математики.
ИНВЕРСИЯ
Для 9-11-классников
- Спецкурс является пререквизитом к спецкурсу по геометрии Лобачевского, а также рекомендуется к прохождению будущим участникам третьей ступени летних геометрических курсов "Дабромат". Программа спецкурса
- Экспертная проверка письменных решений
- 4 лекции в записи с необходимым теоретическим материалом и 4 разбора в прямом эфире с возможностью задавать вопросы преподавателю
- После каждой лекции выдается новая серия задач и челленджи для самостоятельного решения
- Спецкурс ведет Давид Бродский
- Занятия проводятся 1 - 15 апреля
ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
Для 9-11-классников
- От слушателей ожидается знание материала спецкурса по инверсии. Программа спецкурса
- Экспертная проверка письменных решений
- 5 лекций в прямом эфире с необходимым теоретическим материалом и возможностью задавать вопросы преподавателю
- После некоторых лекций выдается новая серия задач для самостоятельного решения
- Спецкурс ведет Павел Бибиков
- Занятия проводятся 1 - 11 мая
ИНВЕРСИЯ
Для 9-11-классников
- Спецкурс является пререквизитом к спецкурсу по геометрии Лобачевского, а также рекомендуется к прохождению будущим участникам третьей ступени летних геометрических курсов "Дабромат". Программа спецкурса
- Экспертная проверка письменных решений
- 4 лекции в записи с необходимым теоретическим материалом и 4 разбора в прямом эфире с возможностью задавать вопросы преподавателю
- После каждой лекции выдается новая серия задач и челленджи для самостоятельного решения
- Спецкурс ведет Давид Бродский
- Занятия проводятся 1 - 15 апреля
ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
Для 9-11-классников
- От слушателей ожидается знание материала спецкурса по инверсии. Программа спецкурса
- Экспертная проверка письменных решений
- 5 лекций в прямом эфире с необходимым теоретическим материалом и возможностью задавать вопросы преподавателю
- После некоторых лекций выдается новая серия задач для самостоятельного решения
- Спецкурс ведет Павел Бибиков
- Занятия проводятся 1 - 11 мая
ПРЕПОДАВАТЕЛИ
- Давид БродскийАвтор спецкурса «Инверсия»
- Ех-тренер сборной Москвы по математике
- 100+ призёров ВсОШ
- Автор самого популярного геометрического проекта на Летней конференции Турнира городов
- Автор книги «Движение точек»
- Преподаватель ОЦ «Сириус»
- Член жюри ММО, Турнира городов и других олимпиад
- Автор задач заключительного и регионального этапов ВсОШ, ММО, Турнира городов, шортлиста Международной математической олимпиады IMO
- Павел БибиковАвтор спецкурса «Геометрия Лобачевского»
- Заведующий кафедрой математики Л2Ш
- Тренер сборной Москвы
- Заслуженный учитель Москвы
- Кандидат физико-математических наук
ПРЕПОДАВАТЕЛИ
Инверсия относительно окружности является важным математическим объектом, обобщающим привычное всем понятие зеркальной симметрии относительно прямой. Одновременно с этим инверсия является крайне мощным инструментом решения задач в современной спортивной математике: за последние 15 лет было придумано множество остроумных способов применения инверсию в самых разных ситуациях.
Классическим введением в вопрос является замечательная книжка И. Жижилкина, бывшая в свое время основным источником информации об инверсии для всех олимпиадников страны. К сожалению, эта книга не покрывает множество современных разделов и методов, потому в текущих реалиях ее изучения уже недостаточно для успешного выступления на олимпиадах высокого уровня.
У нашего спецкурса две цели: научить людей использовать инверсию при решении задач, делая акцент на наиболее важных в приложениях темах, а также подготовить участников к следующему спецкурсу от Павла Бибикова, посвященному геометрии Лобачевского.
Классическим введением в вопрос является замечательная книжка И. Жижилкина, бывшая в свое время основным источником информации об инверсии для всех олимпиадников страны. К сожалению, эта книга не покрывает множество современных разделов и методов, потому в текущих реалиях ее изучения уже недостаточно для успешного выступления на олимпиадах высокого уровня.
У нашего спецкурса две цели: научить людей использовать инверсию при решении задач, делая акцент на наиболее важных в приложениях темах, а также подготовить участников к следующему спецкурсу от Павла Бибикова, посвященному геометрии Лобачевского.
Программа спецкурса:
1. Инверсия для нубов: распрямляем окружности
Мы определим понятие инверсии относительно окружности и докажем ее базовые свойства. В задачах мы будем тренироваться использовать ее, применяя базовые свойства.
2. Инверсия в вершине треугольника
Одно из самых частых применениях инверсии на олимпиадах — инверсия в вершине треугольника. Мы обсудим, куда при таком преобразовании переходят разные хорошие объекты, связанные с треугольником, получим альтернативные доказательства леммы Верьера, теоремы о симедиане и других фактов.
3. Инверсия + симметрия
В большинстве задач предыдущих серий мы обычно не интересовались радиусом инверсии, акцентируя внимание лишь на ее центре. Тем не менее, иногда бывает полезно делать инверсию с конкретным радиусом, компонируя ее с разными другими преобразованиями. Мы обсудим как народные методы симметрия + инверсия в треугольнике / трапеции, так и некоторые более экзотические примеры.
4. Инверсия как преобразование плоскости
Рассмотрим все инверсии со всевозможными радиусами и центрами. Образуют ли они группу преобразований? Что нужно к ним добавить, чтобы образовывали? Ответив на эти вопросы, мы поймем, как обобщить многие привычные объекты (например, биссектрисы) на их криволинейные аналоги. Это неожиданно даст нам новые мощные методы для решения задач.
1. Инверсия для нубов: распрямляем окружности
Мы определим понятие инверсии относительно окружности и докажем ее базовые свойства. В задачах мы будем тренироваться использовать ее, применяя базовые свойства.
2. Инверсия в вершине треугольника
Одно из самых частых применениях инверсии на олимпиадах — инверсия в вершине треугольника. Мы обсудим, куда при таком преобразовании переходят разные хорошие объекты, связанные с треугольником, получим альтернативные доказательства леммы Верьера, теоремы о симедиане и других фактов.
3. Инверсия + симметрия
В большинстве задач предыдущих серий мы обычно не интересовались радиусом инверсии, акцентируя внимание лишь на ее центре. Тем не менее, иногда бывает полезно делать инверсию с конкретным радиусом, компонируя ее с разными другими преобразованиями. Мы обсудим как народные методы симметрия + инверсия в треугольнике / трапеции, так и некоторые более экзотические примеры.
4. Инверсия как преобразование плоскости
Рассмотрим все инверсии со всевозможными радиусами и центрами. Образуют ли они группу преобразований? Что нужно к ним добавить, чтобы образовывали? Ответив на эти вопросы, мы поймем, как обобщить многие привычные объекты (например, биссектрисы) на их криволинейные аналоги. Это неожиданно даст нам новые мощные методы для решения задач.
Еще в начале 7 класса школьники знакомятся с аксиомами евклидовой геометрии. В число этих аксиом входит и так называемая аксиома о параллельных: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Особенностью этой аксиомы является тот факт, что при замене ее на отрицание возникает новая геометрия, обладающая своими особенностями, теоремами и различными областями применения — геометрия Лобачевского.
В этом году мир отмечает юбилей со дня создания неевклидовой геометрии: 23 февраля (11 февраля по старому стилю) 1826 г. российский математик Николай Иванович Лобачевский на заседании Казанского математического общества сделал доклад, в котором объявил о создании новой геометрии. Значение этого открытия для мировой науки и культуры трудно переоценить: долгое время именно евклидова геометрия считалась единственной геометрией, описывающей наш мир; на основе этого строились различные теории, начиная с механики Галилея и заканчивая философией Канта. Создание геометрии Лобачевского привело к пересмотру всего здания мировой науки, а не только математики; именно неевклидова геометрия заложила основы для развития современной дифференциальной геометрии, теории групп, инвариантов, теории относительности, квантовой механики, космологии.
В нашем спецкурсе мы познакомимся с основными понятиями геометрии Лобачевского и рассмотрим ключевые факты и теоремы из нее, доступные школьникам 9-11 классов. Опираясь на хорошо развитые понятия геометрии Евклида (прежде всего на геометрию окружностей и инверсию), мы определим модель Пуанкаре геометрии Лобачевского, поймем, как можно изображать классические объекты — точки, прямые, углы, треугольники, окружности, сформулируем и докажем основные теоремы неевклидовой геометрии и в заключение поговорим о том, как знание геометрии Лобачевского помогает решать задачи из евклидовой геометрии. Если останется время, мы сформулируем несколько открытых геометрических вопросов из геометрии Лобачевского. Возможно, ответы на них найдут слушатели нашего спецкурса...?
В этом году мир отмечает юбилей со дня создания неевклидовой геометрии: 23 февраля (11 февраля по старому стилю) 1826 г. российский математик Николай Иванович Лобачевский на заседании Казанского математического общества сделал доклад, в котором объявил о создании новой геометрии. Значение этого открытия для мировой науки и культуры трудно переоценить: долгое время именно евклидова геометрия считалась единственной геометрией, описывающей наш мир; на основе этого строились различные теории, начиная с механики Галилея и заканчивая философией Канта. Создание геометрии Лобачевского привело к пересмотру всего здания мировой науки, а не только математики; именно неевклидова геометрия заложила основы для развития современной дифференциальной геометрии, теории групп, инвариантов, теории относительности, квантовой механики, космологии.
В нашем спецкурсе мы познакомимся с основными понятиями геометрии Лобачевского и рассмотрим ключевые факты и теоремы из нее, доступные школьникам 9-11 классов. Опираясь на хорошо развитые понятия геометрии Евклида (прежде всего на геометрию окружностей и инверсию), мы определим модель Пуанкаре геометрии Лобачевского, поймем, как можно изображать классические объекты — точки, прямые, углы, треугольники, окружности, сформулируем и докажем основные теоремы неевклидовой геометрии и в заключение поговорим о том, как знание геометрии Лобачевского помогает решать задачи из евклидовой геометрии. Если останется время, мы сформулируем несколько открытых геометрических вопросов из геометрии Лобачевского. Возможно, ответы на них найдут слушатели нашего спецкурса...?
Программа спецкурса:
1. Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского
Мы определим основные объекты геометрии Лобачевского — точки, прямые, углы, треугольники — в терминах геометрии Евклида. Сделать это можно разными способами, и такие способы называются модулями. Модель Пуанкаре тесно связана с окружностями, поэтому для нас она будет наиболее удобной.
2. Сумма углов треугольника, основные теоремы неевклидовой геометрии
Ключевой теоремой евклидовой геометрии является теорема о сумме углов треугольника — именно из нее следуют все замечательные факты, которые мы привыкли использовать в задачах. Нечто похожее происходит и в геометрии Лобачевского: теорема о сумме углов в ней также играет огромную роль. Но роль эта несколько иная: с помощью этой теоремы мы докажем четвертый признак равенства треугольников! Оказывается в неевклидовой геометрии треугольники равны по трем углам.
3. Движения в геометрии Лобачевского
С помощью четвертого признака равенства треугольников мы научимся видеть равные отрезки и сравнивать их длины между собой. При этом знакомые нам по евклидовой геометрии преобразования гомотетии и инверсии приобретут новый статус: они станут движения в геометрии Лобачевского. Все благодаря их, казалось бы, ненужному в евклидовом мире свойству сохранять углы.
4. Основные кривые: окружности, эквидистанта, орицикл
Следующий наш шаг в построении неевклидовой геометрии — понять, как выглядит окружность в модели Пуанкаре. Также мы обнаружим, что помимо окружности в геометрии Лобачевского есть и другие замечательные кривые, аналогов которым в геометрии Евклида нет. Эти кривые называются эквидистантами и орициклами.
5. Геометрия Лобачевского помогает геометрии Евклида
Наконец, мы посмотрим, как геометрия Лобачевского помогает решать некоторые задачи из геометрии Евклида. Оказывается, что в ситуациях, когда на рисунке очень много окружностей, полезно посмотреть на него как на картинку из геометрии Лобачевского: это позволяет применить неевклидовы методы и подходы, чтобы справиться с априори евклидовой задачей.
1. Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского
Мы определим основные объекты геометрии Лобачевского — точки, прямые, углы, треугольники — в терминах геометрии Евклида. Сделать это можно разными способами, и такие способы называются модулями. Модель Пуанкаре тесно связана с окружностями, поэтому для нас она будет наиболее удобной.
2. Сумма углов треугольника, основные теоремы неевклидовой геометрии
Ключевой теоремой евклидовой геометрии является теорема о сумме углов треугольника — именно из нее следуют все замечательные факты, которые мы привыкли использовать в задачах. Нечто похожее происходит и в геометрии Лобачевского: теорема о сумме углов в ней также играет огромную роль. Но роль эта несколько иная: с помощью этой теоремы мы докажем четвертый признак равенства треугольников! Оказывается в неевклидовой геометрии треугольники равны по трем углам.
3. Движения в геометрии Лобачевского
С помощью четвертого признака равенства треугольников мы научимся видеть равные отрезки и сравнивать их длины между собой. При этом знакомые нам по евклидовой геометрии преобразования гомотетии и инверсии приобретут новый статус: они станут движения в геометрии Лобачевского. Все благодаря их, казалось бы, ненужному в евклидовом мире свойству сохранять углы.
4. Основные кривые: окружности, эквидистанта, орицикл
Следующий наш шаг в построении неевклидовой геометрии — понять, как выглядит окружность в модели Пуанкаре. Также мы обнаружим, что помимо окружности в геометрии Лобачевского есть и другие замечательные кривые, аналогов которым в геометрии Евклида нет. Эти кривые называются эквидистантами и орициклами.
5. Геометрия Лобачевского помогает геометрии Евклида
Наконец, мы посмотрим, как геометрия Лобачевского помогает решать некоторые задачи из геометрии Евклида. Оказывается, что в ситуациях, когда на рисунке очень много окружностей, полезно посмотреть на него как на картинку из геометрии Лобачевского: это позволяет применить неевклидовы методы и подходы, чтобы справиться с априори евклидовой задачей.
На спецкурсе «Инверсия» для самостоятельного решения будет 4 листка с основной серией задач и 4 листка с челленджами — особо сложными задачами для тех, кто решил все из основной серии.
На спецкурсе «Геометрия Лобачевского» для самостоятельного решения будет 3 листка с задачами.
На спецкурсе «Геометрия Лобачевского» для самостоятельного решения будет 3 листка с задачами.
Решенные задачи необходимо отправлять через Таксу Дусю, виртуального помощника. Такса Дуся отнесет задачи на проверку преподавателям и вернется с фидбэком в течение 24 часов. Также через Таксу Дусю можно задать вопрос по задаче, вызывающей трудности.
Инверсия относительно окружности является важным математическим объектом, обобщающим привычное всем понятие зеркальной симметрии относительно прямой. Одновременно с этим инверсия является крайне мощным инструментом решения задач в современной спортивной математике: за последние 15 лет было придумано множество остроумных способов применения инверсию в самых разных ситуациях.
Классическим введением в вопрос является замечательная книжка И. Жижилкина, бывшая в свое время основным источником информации об инверсии для всех олимпиадников страны. К сожалению, эта книга не покрывает множество современных разделов и методов, потому в текущих реалиях ее изучения уже недостаточно для успешного выступления на олимпиадах высокого уровня.
У нашего спецкурса две цели: научить людей использовать инверсию при решении задач, делая акцент на наиболее важных в приложениях темах, а также подготовить участников к следующему спецкурсу от Павла Бибикова, посвященному геометрии Лобачевского.
Классическим введением в вопрос является замечательная книжка И. Жижилкина, бывшая в свое время основным источником информации об инверсии для всех олимпиадников страны. К сожалению, эта книга не покрывает множество современных разделов и методов, потому в текущих реалиях ее изучения уже недостаточно для успешного выступления на олимпиадах высокого уровня.
У нашего спецкурса две цели: научить людей использовать инверсию при решении задач, делая акцент на наиболее важных в приложениях темах, а также подготовить участников к следующему спецкурсу от Павла Бибикова, посвященному геометрии Лобачевского.
Программа спецкурса:
1. Инверсия для нубов: распрямляем окружности
Мы определим понятие инверсии относительно окружности и докажем ее базовые свойства. В задачах мы будем тренироваться использовать ее, применяя базовые свойства.
2. Инверсия в вершине треугольника
Одно из самых частых применениях инверсии на олимпиадах — инверсия в вершине треугольника. Мы обсудим, куда при таком преобразовании переходят разные хорошие объекты, связанные с треугольником, получим альтернативные доказательства леммы Верьера, теоремы о симедиане и других фактов.
3. Инверсия + симметрия
В большинстве задач предыдущих серий мы обычно не интересовались радиусом инверсии, акцентируя внимание лишь на ее центре. Тем не менее, иногда бывает полезно делать инверсию с конкретным радиусом, компонируя ее с разными другими преобразованиями. Мы обсудим как народные методы симметрия + инверсия в треугольнике / трапеции, так и некоторые более экзотические примеры.
4. Инверсия как преобразование плоскости
Рассмотрим все инверсии со всевозможными радиусами и центрами. Образуют ли они группу преобразований? Что нужно к ним добавить, чтобы образовывали? Ответив на эти вопросы, мы поймем, как обобщить многие привычные объекты (например, биссектрисы) на их криволинейные аналоги. Это неожиданно даст нам новые мощные методы для решения задач.
1. Инверсия для нубов: распрямляем окружности
Мы определим понятие инверсии относительно окружности и докажем ее базовые свойства. В задачах мы будем тренироваться использовать ее, применяя базовые свойства.
2. Инверсия в вершине треугольника
Одно из самых частых применениях инверсии на олимпиадах — инверсия в вершине треугольника. Мы обсудим, куда при таком преобразовании переходят разные хорошие объекты, связанные с треугольником, получим альтернативные доказательства леммы Верьера, теоремы о симедиане и других фактов.
3. Инверсия + симметрия
В большинстве задач предыдущих серий мы обычно не интересовались радиусом инверсии, акцентируя внимание лишь на ее центре. Тем не менее, иногда бывает полезно делать инверсию с конкретным радиусом, компонируя ее с разными другими преобразованиями. Мы обсудим как народные методы симметрия + инверсия в треугольнике / трапеции, так и некоторые более экзотические примеры.
4. Инверсия как преобразование плоскости
Рассмотрим все инверсии со всевозможными радиусами и центрами. Образуют ли они группу преобразований? Что нужно к ним добавить, чтобы образовывали? Ответив на эти вопросы, мы поймем, как обобщить многие привычные объекты (например, биссектрисы) на их криволинейные аналоги. Это неожиданно даст нам новые мощные методы для решения задач.
Еще в начале 7 класса школьники знакомятся с аксиомами евклидовой геометрии. В число этих аксиом входит и так называемая аксиома о параллельных: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Особенностью этой аксиомы является тот факт, что при замене ее на отрицание возникает новая геометрия, обладающая своими особенностями, теоремами и различными областями применения — геометрия Лобачевского.
В этом году мир отмечает юбилей со дня создания неевклидовой геометрии: 23 февраля (11 февраля по старому стилю) 1826 г. российский математик Николай Иванович Лобачевский на заседании Казанского математического общества сделал доклад, в котором объявил о создании новой геометрии. Значение этого открытия для мировой науки и культуры трудно переоценить: долгое время именно евклидова геометрия считалась единственной геометрией, описывающей наш мир; на основе этого строились различные теории, начиная с механики Галилея и заканчивая философией Канта. Создание геометрии Лобачевского привело к пересмотру всего здания мировой науки, а не только математики; именно неевклидова геометрия заложила основы для развития современной дифференциальной геометрии, теории групп, инвариантов, теории относительности, квантовой механики, космологии.
В нашем спецкурсе мы познакомимся с основными понятиями геометрии Лобачевского и рассмотрим ключевые факты и теоремы из нее, доступные школьникам 9-11 классов. Опираясь на хорошо развитые понятия геометрии Евклида (прежде всего на геометрию окружностей и инверсию), мы определим модель Пуанкаре геометрии Лобачевского, поймем, как можно изображать классические объекты — точки, прямые, углы, треугольники, окружности, сформулируем и докажем основные теоремы неевклидовой геометрии и в заключение поговорим о том, как знание геометрии Лобачевского помогает решать задачи из евклидовой геометрии. Если останется время, мы сформулируем несколько открытых геометрических вопросов из геометрии Лобачевского. Возможно, ответы на них найдут слушатели нашего спецкурса...?
В этом году мир отмечает юбилей со дня создания неевклидовой геометрии: 23 февраля (11 февраля по старому стилю) 1826 г. российский математик Николай Иванович Лобачевский на заседании Казанского математического общества сделал доклад, в котором объявил о создании новой геометрии. Значение этого открытия для мировой науки и культуры трудно переоценить: долгое время именно евклидова геометрия считалась единственной геометрией, описывающей наш мир; на основе этого строились различные теории, начиная с механики Галилея и заканчивая философией Канта. Создание геометрии Лобачевского привело к пересмотру всего здания мировой науки, а не только математики; именно неевклидова геометрия заложила основы для развития современной дифференциальной геометрии, теории групп, инвариантов, теории относительности, квантовой механики, космологии.
В нашем спецкурсе мы познакомимся с основными понятиями геометрии Лобачевского и рассмотрим ключевые факты и теоремы из нее, доступные школьникам 9-11 классов. Опираясь на хорошо развитые понятия геометрии Евклида (прежде всего на геометрию окружностей и инверсию), мы определим модель Пуанкаре геометрии Лобачевского, поймем, как можно изображать классические объекты — точки, прямые, углы, треугольники, окружности, сформулируем и докажем основные теоремы неевклидовой геометрии и в заключение поговорим о том, как знание геометрии Лобачевского помогает решать задачи из евклидовой геометрии. Если останется время, мы сформулируем несколько открытых геометрических вопросов из геометрии Лобачевского. Возможно, ответы на них найдут слушатели нашего спецкурса...?
Программа спецкурса:
1. Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского
Мы определим основные объекты геометрии Лобачевского — точки, прямые, углы, треугольники — в терминах геометрии Евклида. Сделать это можно разными способами, и такие способы называются модулями. Модель Пуанкаре тесно связана с окружностями, поэтому для нас она будет наиболее удобной.
2. Сумма углов треугольника, основные теоремы неевклидовой геометрии
Ключевой теоремой евклидовой геометрии является теорема о сумме углов треугольника — именно из нее следуют все замечательные факты, которые мы привыкли использовать в задачах. Нечто похожее происходит и в геометрии Лобачевского: теорема о сумме углов в ней также играет огромную роль. Но роль эта несколько иная: с помощью этой теоремы мы докажем четвертый признак равенства треугольников! Оказывается в неевклидовой геометрии треугольники равны по трем углам.
3. Движения в геометрии Лобачевского
С помощью четвертого признака равенства треугольников мы научимся видеть равные отрезки и сравнивать их длины между собой. При этом знакомые нам по евклидовой геометрии преобразования гомотетии и инверсии приобретут новый статус: они станут движения в геометрии Лобачевского. Все благодаря их, казалось бы, ненужному в евклидовом мире свойству сохранять углы.
4. Основные кривые: окружности, эквидистанта, орицикл
Следующий наш шаг в построении неевклидовой геометрии — понять, как выглядит окружность в модели Пуанкаре. Также мы обнаружим, что помимо окружности в геометрии Лобачевского есть и другие замечательные кривые, аналогов которым в геометрии Евклида нет. Эти кривые называются эквидистантами и орициклами.
5. Геометрия Лобачевского помогает геометрии Евклида
Наконец, мы посмотрим, как геометрия Лобачевского помогает решать некоторые задачи из геометрии Евклида. Оказывается, что в ситуациях, когда на рисунке очень много окружностей, полезно посмотреть на него как на картинку из геометрии Лобачевского: это позволяет применить неевклидовы методы и подходы, чтобы справиться с априори евклидовой задачей.
1. Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского
Мы определим основные объекты геометрии Лобачевского — точки, прямые, углы, треугольники — в терминах геометрии Евклида. Сделать это можно разными способами, и такие способы называются модулями. Модель Пуанкаре тесно связана с окружностями, поэтому для нас она будет наиболее удобной.
2. Сумма углов треугольника, основные теоремы неевклидовой геометрии
Ключевой теоремой евклидовой геометрии является теорема о сумме углов треугольника — именно из нее следуют все замечательные факты, которые мы привыкли использовать в задачах. Нечто похожее происходит и в геометрии Лобачевского: теорема о сумме углов в ней также играет огромную роль. Но роль эта несколько иная: с помощью этой теоремы мы докажем четвертый признак равенства треугольников! Оказывается в неевклидовой геометрии треугольники равны по трем углам.
3. Движения в геометрии Лобачевского
С помощью четвертого признака равенства треугольников мы научимся видеть равные отрезки и сравнивать их длины между собой. При этом знакомые нам по евклидовой геометрии преобразования гомотетии и инверсии приобретут новый статус: они станут движения в геометрии Лобачевского. Все благодаря их, казалось бы, ненужному в евклидовом мире свойству сохранять углы.
4. Основные кривые: окружности, эквидистанта, орицикл
Следующий наш шаг в построении неевклидовой геометрии — понять, как выглядит окружность в модели Пуанкаре. Также мы обнаружим, что помимо окружности в геометрии Лобачевского есть и другие замечательные кривые, аналогов которым в геометрии Евклида нет. Эти кривые называются эквидистантами и орициклами.
5. Геометрия Лобачевского помогает геометрии Евклида
Наконец, мы посмотрим, как геометрия Лобачевского помогает решать некоторые задачи из геометрии Евклида. Оказывается, что в ситуациях, когда на рисунке очень много окружностей, полезно посмотреть на него как на картинку из геометрии Лобачевского: это позволяет применить неевклидовы методы и подходы, чтобы справиться с априори евклидовой задачей.
На спецкурсе «Инверсия» для самостоятельного решения будет 4 листка с основной серией задач и 4 листка с челленджами — особо сложными задачами для тех, кто решил все из основной серии.
На спецкурсе «Геометрия Лобачевского» для самостоятельного решения будет 3 листка с задачами.
На спецкурсе «Геометрия Лобачевского» для самостоятельного решения будет 3 листка с задачами.
Решенные задачи необходимо отправлять через Таксу Дусю, виртуального помощника. Такса Дуся отнесет задачи на проверку преподавателям и вернется с фидбэком в течение 24 часов. Также через Таксу Дусю можно задать вопрос по задаче, вызывающей трудности.
ГРАФИК ОБУЧЕНИЯ НА СПЕЦКУРСЕ «ИНВЕРСИЯ»
- 1 апреля
10:00 — 11:30
Лекция в записи с необходимым теоретическим материалом и листочек с задачами.
Также выдается листочек с челленджами — особо сложными задачами для тех, кто решил все из основной серии.
- 4 апреля18:00 — 19:00
Разбор в прямом эфире с возможностью задавать вопросы преподавателю. - 5 апреля10:00 — 11:30
Лекция в записи с необходимым теоретическим материалом и листочек с задачами.
Также выдается листочек с челленджами — особо сложными задачами для тех, кто решил все из основной серии. - 7 апреля18:00 — 19:00
Разбор в прямом эфире с возможностью задавать вопросы преподавателю. - 8 апреля10:00 — 11:30
Лекция в записи с необходимым теоретическим материалом и листочек с задачами.
Также выдается листочек с челленджами — особо сложными задачами для тех, кто решил все из основной серии. - 11 апреля18:00 — 19:00
Разбор в прямом эфире с возможностью задавать вопросы преподавателю. - 12 апреля10:00 — 11:30
Лекция в записи с необходимым теоретическим материалом и листочек с задачами.
Также выдается листочек с челленджами — особо сложными задачами для тех, кто решил все из основной серии. - 14 апреля18:00 — 19:30
Разбор в прямом эфире с возможностью задавать вопросы преподавателю.
ГРАФИК ОБУЧЕНИЯ НА СПЕЦКУРСЕ «ИНВЕРСИЯ»
- 1, 5, 8, 12 апреля
10:00 — 11:30
Лекция в записи с необходимым теоретическим материалом и листочек с задачами.
Также выдается листочек с челленджами — особо сложными задачами для тех, кто решил все из основной серии.
- 4, 7, 11, 14 апреля18:00 — 19:00
Разбор в прямом эфире с возможностью задавать вопросы преподавателю.
ГРАФИК ОБУЧЕНИЯ НА СПЕЦКУРСЕ
«ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО»
- 1 мая
18:00 — 19:30
Лекция в прямом эфире с необходимым теоретическим материалом и возможностью задавать вопросы преподавателю.
- 2 мая18:00 — 19:30
Лекция в прямом эфире с необходимым теоретическим материалом и возможностью задавать вопросы преподавателю. - 6 мая18:00 — 19:30
Лекция в прямом эфире с необходимым теоретическим материалом и возможностью задавать вопросы преподавателю. - 9 мая18:00 — 19:30
Лекция в прямом эфире с необходимым теоретическим материалом и возможностью задавать вопросы преподавателю. - 11 мая18:00 — 19:30
Лекция в прямом эфире с необходимым теоретическим материалом и возможностью задавать вопросы преподавателю.
ГРАФИК ОБУЧЕНИЯ НА СПЕЦКУРСЕ
«ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО»
- 1, 2, 6, 9, 11 мая
18:00 — 19:30
Лекция в прямом эфире с необходимым теоретическим материалом и возможностью задавать вопросы преподавателю.