Соосные окружности и конфигурации типа Понселе
Дан треугольник ABC. Пусть ω — его вписанная окружность, а A₁, B₁ и C₁ — точки её касания со сторонами. Обозначим через γ вписанную окружность треугольника A₁B₁C₁. Из вершин треугольника ABC проведём касательные к окружности γ. Они пересекут соответствующие стороны треугольника в шести точках. Докажите, что все эти точки лежат на одной окружности, соосной с окружностями ω и γ.
Именно с этой задачи начинается история одной из самых красивых современных геометрических конструкций. Впоследствии Андрей Шевцов обнаружил, что за ней скрывается гораздо более общая теорема, объединяющая теорему Понселе, формулу Эйлера для вписанной и описанной окружностей и теорию полюсов и поляр.
На спецкурсе мы подробно разберём путь от исходной задачи к общей теореме, опубликованной в журнале «Математическое просвещение». Мы увидим, как естественным образом возникает понятие соосных окружностей, познакомимся с полюсами и полярами, принципом двойственности и проективными движениями, а затем шаг за шагом восстановим доказательство основной теоремы. Одна из самых неожиданных идей курса — проективное движение точки, позволяющее заменить сложную геометрическую задачу исследованием дробно-линейных функций.
Большая часть курса будет посвящена решению задач, развивающих эти идеи и показывающих, как современные методы проективной геометрии применяются при решении сложных олимпиадных задач.
Как всё будет устроено
Программа спецкурса
Календарь занятий
Спецкурс «Соосные окружности и конфигурации типа Понселе»
Занятия в прямом эфире, лекции, задачи с индивидуальной проверкой и фидбэком от преподавателя.
Присоединиться к спецкурсу