В прошлом году в шортлисте международной олимпиады была опубликована следующая задача:
Точка I — центр вписанной окружности треугольника ABC, а ω — описанная окружность треугольника BIC. Точка K ∈ BC, две биссектрисы углов между AK и BC пересекают ω в вершинах четырёхугольника. Докажите, что противоположные стороны этого четырёхугольника видны из точки A под равными углами.
IMO Shortlist 2024 · G5
А в этом году на устном туре Турнира городов была выдана такая задача:
Даны окружность и точки P, Q внутри неё. Через точку P проводится произвольная не содержащая точку Q хорда XY, на которой берётся такая точка Z, что ∠ZQX = ∠PQY. Найдите ГМТ Z.
Турнир городов 2026 · Устный тур
Ещё несколько лет назад на финале ВсОШ в девятом классе возникло геометрическое неравенство с необычным условием про произведения:
Точка A выбирается внутри окружности ω. Точки N₁ и N₂ — центры внеписанных окружностей треугольника, вписанного в ω. Обозначим за D и L вершины треугольника напротив отмеченных инцентров. Докажите, что
AN₁ · N₂A ≥ DA · LA
ВсОШ 2022 · Финал
Оказывается, все эти задачи объединяет один удивительный факт, формулировка которого проще, чем каждая из задач по отдельности.
Теорема
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω. Биссектрисы между диагоналями этого четырёхугольника пересекают ω в четырёх точках, образующих четырёхугольник PQRS. Тогда следующие условия на точку X равносильны:
XA · XC = XB · XD
∠(XP, XQ) = ∠(XS, XR)
Долгое время не было известно приемлемого элементарного доказательства этого факта: рассуждения использовали либо понятие кубической кривой, либо крайне тяжёлый синтетический подход.
Всё изменилось прошлым летом, когда П. Ким придумал умное короткое решение, использующее лишь базовые свойства комплексных чисел. На лекции мы обсудим этот подход, а также связь с указанными выше задачами.
Пререквизиты — что нужно знать заранее
Нажмите на тему — откроется курс, где её можно изучить.
