Кубика произведений или как придумать задачу на IMO и финал ВсОШ

Программа лекции
Давид Бродский
Давид Бродский
Основатель и руководитель онлайн-школы «Дабромат». Автор книги «Движение точек». Композитор задач шортлиста IMO, финала ВсОШ и других олимпиад.

В прошлом году в шортлисте международной олимпиады была опубликована следующая задача:

IMO Shortlist 2025
Точка I — центр вписанной окружности треугольника ABC, а ω — описанная окружность треугольника BIC. Точка K ∈ BC, две биссектрисы углов между AK и BC пересекают ω в вершинах четырёхугольника. Докажите, что противоположные стороны этого четырёхугольника видны из точки A под равными углами.
B C A I
Чертёж к задаче IMO 2025

А в этом году на устном туре Турнира городов была выдана такая задача:

Турнир городов 2026 · Устный тур
Даны окружность и точки P, Q внутри неё. Через точку P проводится произвольная не содержащая точку Q хорда XY, на которой берётся такая точка Z, что ∠ZQX = ∠PQY. Найдите ГМТ Z.
Д. Бродский, А. Заславский

Ещё несколько лет на финале ВсОШ в девятом классе возникло геометрическое неравенство с необычным условием про произведения:

ВсОШ 9 класс · Финал
Точка A выбирается внутри окружности ω. Точки N₁ и N₂ — центры внеписанных окружностей треугольника, вписанного в ω. Обозначим за D и L вершины треугольника напротив отмеченных инцентров. Докажите, что
AN₁ · N₂A ≥ DA · LA

Оказывается, все эти задачи объединяет некоторый общий удивительный факт, формулировка которого проще, чем каждой из этих задач по отдельности:

★ Теорема
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω. Биссектрисы между диагоналями этого четырёхугольника пересекают ω в четырёх точках, образующих четырёхугольник PQRS. Тогда следующие условия на точку X равносильны:
XA · XC = XB · XD
∠(XP, XQ) = ∠(XS, XR)

Долгое время не было известно приемлемого элементарного доказательства этого факта. Рассуждения использовали либо понятие кубической кривой, либо крайне тяжёлый синтетический подход.

Всё изменилось прошлым летом, когда П. Ким придумал умное короткое решение, использующее лишь базовые свойства комплексных чисел.

На лекции мы обсудим этот подход, а также связь с указанными выше задачами.

Пререквизиты
Вписанные четырехугольники, геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Для фанатов Таксы Дуси
Дополнительные материалы к лекции
Подборка задач на использование кубики произведений, некоторые из которых никогда не были опубликованы публично.
Возможность сдавать эти задачи через Таксу Дусю на проверку, получая фидбек от преподавателей.
Стать фанатом Таксы Дуси! →
Что вас ждёт:
  • • Уникальная подборка задач на кубику произведений
  • • Задачи, которых нет в открытом доступе
  • • Возможность сдать решения на проверку
  • • Подробный фидбек от преподавателей