Сопряжение Клоусона — спецкурс «Дабромат»

Сопряжение Клоусона

Леонид Горбунов
Леонид Горбунов
Преподаватель онлайн-школы «Дабромат»
Призёр заключительного этапа ВсОШ по математике
Победитель финала Всероссийской олимпиады по геометрии им. И. Ф. Шарыгина
Золотой медалист международной Иранской геометрической олимпиады
Один из авторов проекта «Инварианты Понселе в свете Cool Ratio Lemma» летней конференции Турнира городов (2025)
Преподаватель олимпиадной математики в Тюменской ФМШ и на проектах ЦПМ (Москва)

Изогональное сопряжение в четырёхугольнике и инверсия с симметрией — оба эти метода уважаемы в геометрическом сообществе и позволяют решать действительно сложные задачи. На первый взгляд, у них мало общего. Тем удивительнее, что существует техника, сочетающая идеи и силу обоих методов. Имя ей — сопряжение Клоусона.

На спецкурсе мы подробно обсудим эту чудесную технику и убедимся в её мощи. Мы соберём скальпели таких монстров, как последняя задача IMO 2011 года (на олимпиаде её решили всего 9 человек) и одна из самых сложных задач шортлиста IMO 2019 года.

Курс предлагает инверсоцентричный взгляд на сопряжение Клоусона, поэтому знание изогонального сопряжения в четырёхугольнике не является обязательным.

Как всё будет устроено

01
4 занятия в прямом эфире с возможностью задавать вопросы
02
4 серии задач для самостоятельного решения
03
Проверка всех решений преподавателем
04
Доступ к записям остаётся до декабря

Программа спецкурса

01
Сопряжение Клоусона. Начало
Мы определим сопряжение Клоусона, посмотрим на него с разных сторон и докажем основные факты.
02
Практика
На этом занятии мы рассмотрим больше примеров применения сопряжения Клоусона.
03
Сложные задачи
Применим сопряжение Клоусона для решения задач крайне высокой сложности, в том числе последнего номера международной олимпиады 2011 года.
04
Связь с теоремой Понселе
Теорема Понселе — жемчужина евклидовой геометрии — утверждает, неформально говоря, что вписанно-описанный многоугольник можно «вращать» между окружностями. Неожиданным образом здесь возникает связь с сопряжением Клоусона: оно помогает увидеть дополнительную глубину конструкции и приходит на помощь в доказательстве инвариантов Понселе.

Календарь занятий

Календарь занятий спецкурса
Пререквизиты — что нужно знать заранее
Будет полезно
Такса Дуся
Жми Таксе на нос и сдавай задачи!
Все задачи спецкурса отправляются на проверку через Таксу Дусю. Преподаватель проверит решение и даст подробный фидбэк.
Основные материалы
«Движение точек» — Д. Ю. Бродский
Лекции по линейной алгебре — А. Л. Городенцев
Алгебраическая геометрия
«Основы алгебраической геометрии» — И. Ф. Шафаревич (рекомендуется для первого знакомства с предметом)
«Алгебраические кривые по направлению к пространствам модулей» — М. Э. Казарян, С. К. Ландо, В. В. Прасолов
«Красная книга о многообразиях и схемах» — Д. Мамфорд
Для сильно искушённого читателя
«Основы алгебраической геометрии» — Р. Хартсхорн (НЕ рекомендуется для первого знакомства с предметом)
«Algebraic Geometry and Arithmetic Curves» — Qing Liu

Спецкурс «Сопряжение Клоусона»

Занятия в прямом эфире, лекции, задачи с индивидуальной проверкой и фидбэком от преподавателя.

Присоединиться к спецкурсу