Эллиптические кривые и алгебраическая геометрия

На эллиптической кривой можно определить сложение точек, которое определяется через проведение прямых и их пересечение с эллиптической кривой. Несмотря на элементарное определение, доказательство того что сложение является ассоциативным является довольно нетривиальным и, главное, совершенно непонятно откуда оно берется. Цель моей лекции заключается в том, чтобы объяснить «глубокий смысл» сложения точек на эллиптической кривой и дать набросок доказательства ассоциативности.

В первой части доклада поговорим о дивизорах на эллиптической кривой. На дивизорах есть некоторое важное отношение эквивалентности, называемое рациональной эквивалентностью. Так вот оказывается, что эллиптическая кривая может быть отождествлена с дивизорами на ней по модулю рациональной эквивалентности. В частности на эллиптической кривой возникает сложение по тавтологическим причинам. Это дает простой способ вывести явные формулы для сложения точек.

Во второй части расскажем о том, как сложение точек на эллиптической кривой может быть применено к доказательству поризма Понселе.

Если останется время, то поговорим о том, как устроены решения соответствующего уравнения в комплексных числах. Окажется, что соответствующие решения являются тором (поверхность «бублика»). Точки на таком торе параметризуются двумя углами и сложение точек на эллиптической кривой соответствует простому сложению этих двух углов.