Эллиптические кривые и алгебраическая геометрия

На эллиптической кривой можно определить сложение точек, которое задаётся через проведение прямых и их пересечение с кривой. Несмотря на элементарное определение, доказательство ассоциативности этого сложения довольно нетривиально и, главное, совершенно непонятно, откуда оно берётся. Цель лекции — объяснить «глубокий смысл» сложения точек на эллиптической кривой и дать набросок доказательства ассоциативности.

В первой части поговорим о дивизорах на эллиптической кривой. На дивизорах есть важное отношение эквивалентности — рациональная эквивалентность. Оказывается, эллиптическая кривая может быть отождествлена с дивизорами на ней по модулю рациональной эквивалентности. В частности, на эллиптической кривой возникает сложение по тавтологическим причинам — это даёт простой способ вывести явные формулы для сложения точек.

Во второй части расскажем о том, как сложение точек на эллиптической кривой может быть применено к доказательству поризма Понселе.

Если останется время, поговорим о том, как устроены решения соответствующего уравнения в комплексных числах. Окажется, что решения образуют тор — поверхность «бублика». Точки на таком торе параметризуются двумя углами, и сложение точек на эллиптической кривой соответствует простому сложению этих двух углов.