Геометрия Лобачевского 2 — лекции «Дабромат»

Геометрия Лобачевского 2

Лекции · 18–19 августа
Павел Бибиков
Павел Бибиков
Заведующий кафедрой математики Л2Ш
Тренер сборной Москвы по математике
Заслуженный учитель Москвы
Кандидат физико-математических наук

Эти лекции продолжают весенний спецкурс, посвящённый знакомству с геометрией Лобачевского. В рамках прошлого спецкурса основную роль играла геометрия окружностей: и основные объекты неевклидовой геометрии, и основные преобразования так или иначе были связаны с окружностями.

Теперь мы рассмотрим новый, проективный взгляд на геометрию Лобачевского. Для этого введём ещё одну, третью модель — модель Клейна (правда, исторически именно она была первой моделью неевклидовой геометрии). Обсудим, как устроен переход от модели Пуанкаре к модели Клейна, проследим, как меняются стандартные объекты неевклидова мира при таком переходе, а также дадим интерпретацию многих классических фактов проективной геометрии в терминах модели Клейна.

Программа лекций

Лекция 1 18 августа
01
Напоминание о моделях Пуанкаре геометрии Лобачевского
Начнём с краткого напоминания того, как устроены модели Пуанкаре в верхней полуплоскости и в круге: как изображаются основные кривые в этих моделях, как измеряются углы и расстояния.
02
Модель Клейна геометрии Лобачевского
Опишем геометрический переход от модели Пуанкаре в круге к модели Клейна и проследим, как меняются ключевые объекты и формулы неевклидовой геометрии при этом переходе.
03
Связь модели Клейна и проективной геометрии
Модель Клейна существенно проективна, и многие конструкции в ней удаётся понять с помощью классических проективных фактов: двойных отношений, полюсов и поляр, коник. Посмотрим, как придать этим фактам смысл в рамках модели Клейна.
Лекция 2 19 августа
04
Классические теоремы неевклидовой геометрии
С помощью модели Клейна докажем три классических утверждения геометрии Лобачевского: теорему о пересечении медиан, теорему о пересечении высот, а также поймём, как устроено ГМТ, из которых данный отрезок виден под прямым углом.
05
Применения в евклидовой геометрии
Заключительная часть посвящена применению фактов и конструкций из модели Клейна для доказательства и интерпретации классических евклидовых теорем: теоремы о бабочке, теоремы Паскаля и теоремы Дезарга об инволюции.
Пререквизиты — что нужно знать заранее
Нажмите на тему — откроется курс, где её можно изучить.
Такса Дуся
Для фанатов Таксы Дуси
Дополнительные материалы к лекциям
Подборка задач по теме лекций — некоторых из них нет в открытом доступе.
Сдавайте эти задачи через Таксу Дусю и получайте фидбэк от преподавателей.
Стать фанатом Таксы Дуси!

Лекции 18–19 августа

Модель Клейна, проективный взгляд на геометрию Лобачевского и приложения к евклидовым теоремам.

Присоединиться к лекции