Данные лекции продолжают весенний спецкурс, посвященный знакомству с геометрией Лобачевского. В рамках прошлого спецкурса основную роль играла геометрия окружностей: и основные объекты неевклидовой геометрии, и основные преобразования так или иначе были связаны с окружностями.
Теперь мы рассмотрим новый, проективный взгляд на геометрию Лобачевского. Для этого мы введем еще одну, третью модель - модель Клейна (правда, исторически именно она была первой моделью неевклидовой геометрии). Мы обсудим, как устроен переход от модели Пуанкаре к модели Клейна, проследим, как меняются стандартные объекты неевклидова мира при таком переходе, а также дадим интерпретацию многих классических фактов проективной геометрии в терминах модели Клейна геометрии Лобачевского.
Напоминание о моделях Пуанкаре геометрии Лобачевского
Мы начнем с краткого напоминания того, как устроены модели Пуанкаре в верхней полуплоскости и в круге: как изображаются основные кривые в этих моделях, как измеряются углы и расстояния.
Модель Клейна геометрии Лобачевского
Мы опишем геометрический переход от модели Пуанкаре в круге к модели Клейна геометрии Лобачевского и проследим, как меняются ключевые объекты и формулы неевклидовой геометрии при этом переходе.
Связь модели Клейна и проективной геометрии
Как мы увидим, модель Клейна существенно проективна, и многие конструкции в ней удается понять с помощью классических проективных фактов: двойных отношений, полюсов и поляр, коник и т.д. Мы посмотрим, как придать этим проективным фактам смысл в рамках модели Клейна.
Классические теоремы неевклидовой геометрии
С помощью модели Клейна мы докажем три классических утверждения геометрии Лобачевского: теорему о пересечении медиан, теорему о пересечении высот, а также поймем, как устроено гмт, из которых данный отрезок виден под прямым углом.
Применения в евклидовой геометрии
Заключительная часть спецкурса будет посвящена применению фактов и конструкций из модели Клейна для доказательства и интерпретации классических евклидовых теорем. Мы обсудим, как с помощью модели Клейна можно посмотреть на теорему о бабочке, теорему Паскаля и теорему Дезарга об инволюции.
Пререквизиты
Модели Пуанкаре в верхней полуплоскости и в круге, проективная геометрия.
