ПРОГРАММА «II СТУПЕНИ»

2 ТРИМЕСТР

1. Алгебра

В этом блоке мы развиваем известные нам из 7 класса техники работы с алгебраическими выражениями для решения олимпиадных задач. Также мы начинаем учиться работать с неравенствами: чем дальше, тем более активно неравенства будут появляться в олимпиадных задач, причем не только в алгебраических, но и в геометрических и комбинаторных.

Основными темами этого блока будут:

1. Тождественные преобразования, ФСУ
В рамках этой темы мы рассмотрим задачи, которые предлагаются на олимпиадах, но решаются привычными нам методами из курса алгебры 7 класса. Наша задача — научиться самостоятельно определять, какие формулы необходимо применить в той или иной ситуации, а также ставить перед собой конкретную цель: что именно мы хотим, совершая те или иные преобразования.

2. Неравенства (выделение полного квадрата, огрубления, неравенство Коши)
Многие люди, знакомясь с неравенствами, воспринимают их как нечто похожее на тождества. Однако этот подход в корне неверен: напротив, техника работы с неравенствами принципиально отличается от стандартных равносильных преобразований и направлена на то, чтобы осознанно изменять и упрощать данное выражение, превращая его в наиболее простое. В этой теме мы обсудим различные приемы, позволяющие это делать.

2. Комбинаторика
В этом блоке мы поговорим о более трудных конструкциях в комбинаторике, нежели мы встречали ранее в 7 классе. До сих пор большинство задач, которые мы видели, были статичны: данные из условия были четко зафиксированы, и про них требовалось что-то понять. Сейчас же эти данные будут определенным образом меняться. Соответствующие задачи называются процессами, и наша цель — познакомиться с основными техниками работы с ними.

Основными темами этого блока будут:

1. Основные принципы работы (обратный ход, инварианты)
Эти два метода являются наиболее частыми и типичными при работе с процессами. Они направлены на решение двух противоположных задач: обратный ход помогает разобраться, что может получиться в ходе процесса, а инварианты — чего не может получиться. О том, как и когда их полезно применять, и пойдет речь.

2. Запуск процесса
Иногда стартовое условие задачи статично, но для решения полезно сделать его динамично меняющимся. Соответствующая олимпиадная идея называется запуском процесса, и в рамках этой темы мы поговорим о том, как можно запускать процессы и как можно использовать появляющуюся динамику в решении задач.

3. Конструктивы
С запуском процесса тесно связана идея конструктивов. В некоторых задачах от нас требуют построить пример, удовлетворяющий условию. Однако сам пример может быть очень трудным, и построить его явно сразу и целиком может быть затруднительно. Поэтому возникает идея строить пример постепенно, конструируя его по частям. Об этой технике мы и поговорим в данной теме.

4. Индукция
С конструированиями и запуском процесса тесно связана классическая тема индукции. Часто индукцию воспринимают довольно прямолинейно, как некоторый алгоритм, позволяющий доказывать определенные формулы. На самом деле индукция устроена гораздо сложнее, и научиться применять ее не только в алгебре, но и в комбинаторике не так просто. Во многом нам в этом помогут предыдущие темы данного блока, которые планомерно готовят нас к этой довольно трудной, но в то же время очень красивой технике.

3. Геометрия
В этом блоке мы рассмотрим различные задачи, связанные с площадями. Для того, чтобы грамотно работать с площадями, потребуются различные технические инструменты, связанные со счетными техниками в геометрии: подобия, пропорции, теорема Пифагора. Мы последовательно рассмотрим следующие типы задач.

Основными темами этого блока будут:

1. Группировка площадей
Чтобы доказать, что площади двух фигур равны, достаточно разбить эти фигуры на меньшие фигуры равной площади. Простейшим примером такого разбиения является стандартный факт: медиана делит треугольник на два равновеликих. Мы рассмотрим более сложные и разнообразные конструкции, основанные в том числе и на этом известном факте.

2. Перемещение площадей
Иногда перед тем, как разбивать фигуры на равновеликие части, нужно сначала переместить их в подходящее место на чертеже. Создать такую динамику позволяет техника перемещения площадей. Примером такого перемещения является известная лемма о крыльях бабочки: диагонали трапеции образуют с боковыми сторонами два равновеликих треугольника. Кстати говоря, именно техникой перемещения площадей Евклид когда-то доказал теорему Пифагора! Мы также повторим это доказательство и научимся другим полезным применениям этой техники.

3. Отношения площадей
Иногда полезно знать, во сколько раз площадь одной фигуры больше, чем площадь другой фигуры. Для этого оказываются полезны техники, связанные с вычислениями отношений длин отрезков: вместо двумерных фигур мы рассматриваем фигуры одномерные. Удивительно, но эта параллель работает и в обратную сторону: в некоторых ситуациях знание отношений площадей позволяет сказать что-то полезное про длины соответствующих отрезков!