ПРОГРАММА «II СТУПЕНИ»
Комбинаторный циклКак правило, в комбинаторике не так много теории, зато в ней довольно много разных идей и типов задач. Будет много задач на разнообразные комбинаторные темы, популярные в олимпиадах: подсчет количества способов, клетчатые задачи, фокусы, логика, графы, биекции/инъекции, игры.
Изучим разные способы решать задачи-игры: симметрия, разбиение ходов на пары, расстановка плюсиков-минусиков, ход с конца, передача хода, заповедник, игры-шутки и полушутки.
Рассмотрим такие важные понятия в теории графов, как: теорема о сумме степеней, деревья, подвешивание, эйлеровы пути/циклы, двудольные графы.
Геометрический циклБудет много задач на оттачивание навыка счета углов — самого полезного навыка в олимпиадной геометрии. Большое внимание будет уделяться дополнительным построениям и тому, как до них догадаться.
1. Классические сюжеты о некоторых замечательных точках треугольника2. Площади и отношения площадей3. Теоремы Чевы и Менелая4. Подобие5. Преобразования плоскости: симметрия/поворот/гомотетияАлгебраический циклНеравенства о средних для двух чисел, разнообразные методы решения неравенств: усиление, преобразования в сумму квадратов, замена переменных и многие другие.
Квадратные трехчлены: задачи на эту тему очень любят давать на олимпиаде Эйлера, поэтому будем их подробно прорабатывать, хотя тема и не сложная.
Арифметические и геометрические прогрессии.
Теория чиселМного задач на классические методы: разложение на множители, изучение степеней вхождения простых, выделение НОД, и т.п.
1. Теория цифр: популярная на турнирах и олимпиадах тема2. Сравнения по модулю3. Степени вхождения простых4. Зацикливание степеней чисел по модулям5. Пифагоровы тройкиОбщие темыЦэшки (биномиальные коэффициенты) и всё что с ними связано: треугольник Паскаля, бином Ньютона, важнейшие свойства, оценки.
Числа Фибоначчи и всё что с ними связано: важнейшие тождества, комбинаторные свойства, теоретико-числовые свойства.