Программа 3 года обучения

РЕГУЛЯРНЫЙ КУРС «III СТУПЕНЬ»

ПЕРВЫЙ ТРИМЕСТР (8 СЕНТЯБРЯ — 30 НОЯБРЯ)

Дмитрий Ширяев

Руководитель направления

Руководитель параллели матцентра 239 (Шировласики)
Среди учеников 2 золотых и 1 серебряный медалисты IMO, множество призеров ВсОШ, многократных победителей крупнейших турниров матбоев
Член методкомиссии Уральского и Европейского турниров, кубка Колмогорова
Серебряный медалист IMO за 2003 год

Дмитрий Ширяев

Руководитель направления

Руководитель параллели матцентра 239 (Шировласики)
Среди учеников 2 золотых и 1 серебряный медалисты IMO, множество призеров ВсОШ, многократных победителей крупнейших турниров матбоев
Член методкомиссии Уральского и Европейского турниров, кубка Колмогорова
Серебряный медалист IMO за 2003 год

Изучение математики обычно состоит в изучении конкретных приемов и способов рассуждений, которые применяются особенно часто: доказательство от противного, принцип крайнего, индукция, подсчет двумя способами, делимость, оценки роста и тд. Но даже если вы знакомы с набором приемов, нужно еще уметь их применять в различных ситуациях. Поэтому помимо самих приемов изучаются типичные ситуации-сеттинги, например, клеточные задачи, уравнения в целых числах, неравенства, графы, игры, процессы и тд.

Для некоторых ситуаций типично применение определенных приемов, а иногда применение какого-то известного метода, но в нетипичной для него ситуации приводит к оригинальному и красивому решению. Поэтому в идеале прорабатывать всю матрицу, то есть применение типичных методов в разных ситуациях, изучая типовые рассуждения. Учитывая, что обычно по виду задачи ясна ситуация-сеттинг, такая подготовка сразу позволяет построить некоторый план работы над задачей в большинстве случаев.

Готовим к олимпиадам: финал и регион ВсОШ, Турнир Колмогорова, ММО, Санкт-Петербургская олимпиада школьников, Турнир городов, Олимпиада имени Шарыгина, Иранская геометрическая олимпиада.

ПРОГРАММА «III СТУПЕНИ»

Комбинаторный цикл

1. Подсчет двумя способами в различных ситуациях
Связи комбинаторных объектов, помогающие при подсчете, использование двудольных графов.

2. Базовая комбинаторика
Подсчет вариантов и использование комбинаторных подсчетов для нахождения необходимых объектов.

3. Графы
Обсуждаются индуктивные приемы при решении задачи на графы, индукция с помощью выкидывания вершины и с помощью склейки вершин.

4. Графы и применение принципа крайнего
Самый длинный путь, самая высокая степень вершины, максимальное паросочетание. Перестройки графов для получения более максимального объекта.

5. Удобные параметры
Изучение процессов и важных параметров в задаче для поиска инвариантов и полуинвариантов.

6. Клеточные задачи
Базовые приемы: разбиение на блоки, раскраски, краевые эффекты.

7. Рассуждения, связанные с раскрасками и разбиения объектов на два типа
Обычно раскраски применяются в клеточных задачах. Но идейно похожие приемы применимы и в более общих ситуациях, например, когда мы разделяем объекты на два типа и работаем с ними отдельно, реализуя нужные нам подсчеты.

8. Игры и стратегии
Три базовых метода — симметричная, парная стратегии и анализ проигрышных и выигрышных положений. Поиск балансовых состояний и их сохранение. Неявные стратегии.

9. Метод зарядов и весов
Способ явных подсчетных рассуждений на основании назначения весов и зарядов объектам.

10. Периодичность и зацикливание
Процессы, приводящие к периодичности, граф состояний системы. Использование зацикленности в различных ситуациях.

Теория чисел

1. Базовое применение остатков. Уравнения в целых числах, применения признаков делимости

2. Применение взаимной простоты в различных ситуациях

3. Степень вхождения. Использование простых делителей

4. Рядом стоящие квадраты и связанные с этим оценки. Применение ростка

5. Оценки в теории чисел, связанные со свойствами делимости и ростом

6. Структура простых делителей числа. Подсчет числа натуральных делителей. Оценки максимальных делителей

7. Конструктивная теория чисел
Базовые способы построения числовых конструкций на основе делимости.

8. Комбинаторная теория чисел
Поиск нужного числового объекта комбинаторными методами. Использование инвариантов и полуинвариантов.

Алгебра

1. Базовая алгебраическая техника. Разложение на множители. Преобразования выражений

2. Применение квадратных уравнений для получения оценок. Анализ дискриминанта

3. Квадратный трехчлен. График, типовой анализ

4. Неравенства о среднем. Базовые приемы, огрубление выражений, работа с суммой и произведением

5. Применение вспомогательных неравенств и огрубление для универсализации знаменателей

6. Неравенства КБШ и КБШ для дробей (Седракян)

7. Базовые сведения о многочленах

ПРОГРАММА «III СТУПЕНИ»

Комбинаторный цикл

1. Подсчет двумя способами в различных ситуациях
Связи комбинаторных объектов, помогающие при подсчете, использование двудольных графов.

2. Базовая комбинаторика
Подсчет вариантов и использование комбинаторных подсчетов для нахождения необходимых объектов.

3. Графы
Обсуждаются индуктивные приемы при решении задачи на графы, индукция с помощью выкидывания вершины и с помощью склейки вершин.

4. Графы и применение принципа крайнего
Самый длинный путь, самая высокая степень вершины, максимальное паросочетание. Перестройки графов для получения более максимального объекта.

5. Удобные параметры
Изучение процессов и важных параметров в задаче для поиска инвариантов и полуинвариантов.

6. Клеточные задачи
Базовые приемы: разбиение на блоки, раскраски, краевые эффекты.

7. Рассуждения, связанные с раскрасками и разбиения объектов на два типа
Обычно раскраски применяются в клеточных задачах. Но идейно похожие приемы применимы и в более общих ситуациях, например, когда мы разделяем объекты на два типа и работаем с ними отдельно, реализуя нужные нам подсчеты.

8. Игры и стратегии
Три базовых метода — симметричная, парная стратегии и анализ проигрышных и выигрышных положений. Поиск балансовых состояний и их сохранение. Неявные стратегии.

9. Метод зарядов и весов
Способ явных подсчетных рассуждений на основании назначения весов и зарядов объектам.

10. Периодичность и зацикливание
Процессы, приводящие к периодичности, граф состояний системы. Использование зацикленности в различных ситуациях.

Теория чисел

1. Базовое применение остатков. Уравнения в целых числах, применения признаков делимости

2. Применение взаимной простоты в различных ситуациях

3. Степень вхождения. Использование простых делителей

4. Рядом стоящие квадраты и связанные с этим оценки. Применение ростка

5. Оценки в теории чисел, связанные со свойствами делимости и ростом

6. Структура простых делителей числа. Подсчет числа натуральных делителей. Оценки максимальных делителей

7. Конструктивная теория чисел
Базовые способы построения числовых конструкций на основе делимости.

8. Комбинаторная теория чисел
Поиск нужного числового объекта комбинаторными методами. Использование инвариантов и полуинвариантов.

Алгебра

1. Базовая алгебраическая техника. Разложение на множители. Преобразования выражений

2. Применение квадратных уравнений для получения оценок. Анализ дискриминанта

3. Квадратный трехчлен. График, типовой анализ

4. Неравенства о среднем. Базовые приемы, огрубление выражений, работа с суммой и произведением

5. Применение вспомогательных неравенств и огрубление для универсализации знаменателей

6. Неравенства КБШ и КБШ для дробей (Седракян)

7. Базовые сведения о многочленах

ТАРИФЫ КУРСА «III СТУПЕНЬ»