ПРОГРАММА «IV СТУПЕНИ»
2 ТРИМЕСТР
1. Многочлены вводная
Наш разговор о многочленах начнется с двух определений полинома: функционального и формального, обсудим их равносильность. Вспомним асимптотические свойства, известные из математического анализа и поговорим про базовые идеи.
2.
Многочлены. Теорема БезуОпределим деление с остатком и докажем знаменитую теорему Безу, поймем, почему многочлены от одной переменной однозначно раскладываются на множители. Приведем альтернативное алгебраическое доказательство равносильности двух определений многочлена одной переменной.
3.
ИнтерполяцияОбобщая результаты предыдущей лекции, мы выясним, что зная некоторые значения и коэффициенты многочлена не слишком высокой степени его можно восстановить однозначно. Мы предъявим явный способ, именуемый интерполяционным многочленом Лагранжа. В качестве бонуса, слушателям будет представлено два способа находить корни произвольного кубического многочлена.
4.
Симметрические многочленыБольшую часть курса мы занимаемся изучением многочленов одной переменной. Тем не менее, есть один особый класс многочленнов от
n переменных, свойства которого удивительно часто пригождаются при решении совершенно разных задач. Мы уделим большое внимание примитивным симметрическим многочлеанам, а также многочленам Ньютона.
5.
Комплексные числаВещественные числа обладают большим количеством неудобств при работе с многочленами: слушатели могли увидеть это явно в предыдущей серии при доказательстве формулы Кардано. На этом занятии мы строго определим понятие комплексного числа и научимся использовать их для решения задач, в которых на первый взгляд комплексных чисел быть не должно.
6.
Разностный многочленПродолжая разговор про интерполяцию, мы обсудим альтернативный способ восстановления многочленов по его значениям. Также мы поговорим про особенности многочленов с целыми коэффициентами и многочленами, принимающими целые значения в целых точках (это не одно и то же!)
7.
Производная многочленаМы определим алгебраически понятие производной многочлена и докажем все его свойства. Слушатели, знакомые с концепцией производной из математического анализа, порадуются, увидев знакомые утверждения, тогда как незнакомые смогут понять все утверждения, используя лишь алгебраическую интуицию.
8.
Конечные поляПоле это множество с некоторыми дополнительными структурами на нем: сложением, умножением и делением. Примерами полей служат рациональные, вещественные и комплексные числа. Однако для задач теории чисел часто пригождается поля другого вида. Их свойства мы и обсудим.
9.
Многочлены над конечными полямиВспоминая первую лекцию, мы повторим все сказанное на ней, определяя многочлены над конечными полями. Мы увидим, что многие свойства многочленов над конечными полями не отличаются от свойств многочленов с вещественными коэффициентами, хотя и не все. Также мы обсудим автоморфизм Фробениуса, по-новому докажем теорему Вильсона.
10.
Первообразный кореньИспользуя разработанную нами технику полиномы над конечными полями, мы докажем мощнейшую теорему теорию чисел: теорему о существовании первообразного корня по модулю
p, то есть такого числа, натуральные степени которого дают все остатки при делении на
p.
11.
Многочлен деления кругаВозвращаясь к многочленам с целыми коэффициентами, мы обсудим комплексный аналог первообразного корня и связанные с ним многочлены, называемые многочленами деления круга. Мы докажем, что эти многочлены имеют целые коэффициенты, а простые числа, на которые делятся их значения в целых точках, ведут себя контролируемым образом, благодаря чему мы докажем первый случай теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.
12.
Квадратичный закон взаимностиПервообразные корни существуют в мире конечных полей и в мире комплексных чисел. Есть ли между ними какая-то связь? Отвечая на этот вопрос мы докажем квадратичный закон взаимности Гаусса.