ПРОГРАММА КУРСА «ТРИЖДЫ СОВЕРШЕННЫЙ КУРС ПО ГЕОМЕТРИИ»
I СТУПЕНЬ
1. Подсчет углов при помощи окружности На этой неделе вы научитесь использовать дуги окружности для эффективного подсчета уголков на картинке, а также потренируетесь делать дополнительные построения, связанные с нетривиальным применением окружности. Пользоваться вписанными четырехугольниками запрещено! 2. Вписанные четырехугольники Мы обсудим все стандартные угловые признаки вписанности четырехугольника, после чего посмотрим на них с необычной стороны. Также мы потренируемся искать на картинке скрытые вписанные четырехугольники. 3. Касания и углыНа этой неделе мы подробно поговорим о том, как при помощи углов можно кодировать касание прямой и окружности. Мы обсудим, как касание связано со вписанными четырехугольниками и обсудим понятие антипараллельности, которое помогает быстро находить вписанные четырехугольники.4. Все про ортоцентр Применим полученные ранее знания для исследования точки пересечения высот треугольника — ортоцентра. Мы установим взаимосвязь ортоцентра с некоторыми другими объектами треугольника; научимся делать популярнейшие дополнительные построения, связанные с ортоцентром; определим точку окружность девяти точек.5. Все про инцентр Мы поговорим про центр окружности, вписанной в треугольник — инцентр (анг. incenter), а также про три вневписанные окружности. Мы обсудим лемму о трезубце, а также установим несколько удивительных связей между инцентром и ортоцентром.6. Шиворот-навыворотМногие факты про инцентр имеют родственников, в которых вместо инцентра фигурируют эксцентры. Мы потренируемся строить двойственные факты, а также продолжим обсуждать их связь с ортоцентром.7. 255-леммаВписанную окружность можно связать и с некоторыми другими объектами треугольника. О взаимоотношениях точек касания вписанной окружности со средней линией и некоторой специальной окружностью и пойдет речь. 8. Задачи на площадиПерекладывать площади это просто. Или нет? А как доказывать неравенства, связанные с площадями? Пригождаются ли площади в задачах, в условии которых площадей нет? На эти животрепещущие вопросы мы и попытаемся ответить. 9. ПодобиеНа этой неделе мы докажем свойства подобия, опираясь на понятие площади. Мы поговорим про то, как подобие связано со вписанными четырехугольниками и крайне неожиданным образом применим все ранее обсуждаемые вещи для доказательства теоремы о симедиане. 10. ГомотетияПродолжим разговор о подобии, определив соответствующее преобразование плоскости — гомотетию. Обсудим лемму Архимеда, теорему о гомотетичных треугольниках и некоторые другие интересные результаты. 11. Степень точки относительно окружностиНа этом занятии мы введем понятие степени точки относительно окружности, а также потренируемся использовать ее для доказательства вписанности четырехугольников. 12. Радикальные оси Заключительная неделя курса посвящена понятию радикальной оси двух неконцентрических окружностей. Мы научимся применять радикальные оси для решения различных задач: доказательства коллинеарности, перпендикулярности и конкурентности. В качестве яркого завершения курса мы докажем теоремы Гаусса и Обера.