ПРОГРАММА КУРСА «ТРИЖДЫ СОВЕРШЕННЫЙ КУРС ПО ГЕОМЕТРИИ»


I СТУПЕНЬ


1. Подсчет углов при помощи окружности
На этой неделе вы научитесь использовать дуги окружности для эффективного подсчета уголков на картинке, а также потренируетесь делать дополнительные построения, связанные с нетривиальным применением окружности. Пользоваться вписанными четырехугольниками запрещено!

2. Вписанные четырехугольники
Мы обсудим все стандартные угловые признаки вписанности четырехугольника, после чего посмотрим на них с необычной стороны. Также мы потренируемся искать на картинке скрытые вписанные четырехугольники.

3. Касания и углы
На этой неделе мы подробно поговорим о том, как при помощи углов можно кодировать касание прямой и окружности. Мы обсудим, как касание связано со вписанными четырехугольниками и обсудим понятие антипараллельности, которое помогает быстро находить вписанные четырехугольники.

4. Все про ортоцентр
Применим полученные ранее знания для исследования точки пересечения высот треугольника — ортоцентра. Мы установим взаимосвязь ортоцентра с некоторыми другими объектами треугольника; научимся делать популярнейшие дополнительные построения, связанные с ортоцентром; определим точку окружность девяти точек.

5. Все про инцентр
Мы поговорим про центр окружности, вписанной в треугольник — инцентр (анг. incenter), а также про три вневписанные окружности. Мы обсудим лемму о трезубце, а также установим несколько удивительных связей между инцентром и ортоцентром.

6. Шиворот-навыворот
Многие факты про инцентр имеют родственников, в которых вместо инцентра фигурируют эксцентры. Мы потренируемся строить двойственные факты, а также продолжим обсуждать их связь с ортоцентром.

7. 255-лемма
Вписанную окружность можно связать и с некоторыми другими объектами треугольника. О взаимоотношениях точек касания вписанной окружности со средней линией и некоторой специальной окружностью и пойдет речь.

8. Задачи на площади
Перекладывать площади это просто. Или нет? А как доказывать неравенства, связанные с площадями? Пригождаются ли площади в задачах, в условии которых площадей нет? На эти животрепещущие вопросы мы и попытаемся ответить.

9. Подобие
На этой неделе мы докажем свойства подобия, опираясь на понятие площади. Мы поговорим про то, как подобие связано со вписанными четырехугольниками и крайне неожиданным образом применим все ранее обсуждаемые вещи для доказательства теоремы о симедиане.

10. Гомотетия
Продолжим разговор о подобии, определив соответствующее преобразование плоскости — гомотетию. Обсудим лемму Архимеда, теорему о гомотетичных треугольниках и некоторые другие интересные результаты.

11. Степень точки относительно окружности
На этом занятии мы введем понятие степени точки относительно окружности, а также потренируемся использовать ее для доказательства вписанности четырехугольников.

12. Радикальные оси
Заключительная неделя курса посвящена понятию радикальной оси двух неконцентрических окружностей. Мы научимся применять радикальные оси для решения различных задач: доказательства коллинеарности, перпендикулярности и конкурентности. В качестве яркого завершения курса мы докажем теоремы Гаусса и Обера.