Трижды совершенный курс по геометрии

На этой неделе вы научитесь использовать дуги окружности для эффективного подсчета уголков на картинке, а также потренируетесь делать дополнительные построения, связанные с нетривиальным применением окружности. Пользоваться вписанными четырехугольниками запрещено!

Мы обсудим все стандартные угловые признаки вписанности четырехугольника, после чего посмотрим на них с необычной стороны. Также мы потренируемся искать на картинке скрытые вписанные четырехугольники.

На этой неделе мы подробно поговорим о том, как при помощи углов можно кодировать касание прямой и окружности. Мы обсудим, как касание связано со вписанными четырехугольниками и обсудим понятие антипараллельности, которое помогает быстро находить вписанные четырехугольники.

Применим полученные ранее знания для исследования точки пересечения высот треугольника — ортоцентра. Мы установим взаимосвязь ортоцентра с некоторыми другими объектами треугольника; научимся делать популярнейшие дополнительные построения, связанные с ортоцентром; определим точку окружность девяти точек.

Мы поговорим про центр окружности, вписанной в треугольник — инцентр (анг. incenter), а также про три вневписанные окружности. Мы обсудим лемму о трезубце, а также установим несколько удивительных связей между инцентром и ортоцентром.

Многие факты про инцентр имеют родственников, в которых вместо инцентра фигурируют эксцентры. Мы потренируемся строить двойственные факты, а также продолжим обсуждать их связь с ортоцентром.

Вписанную окружность можно связать и с некоторыми другими объектами треугольника. О взаимоотношениях точек касания вписанной окружности со средней линией и некоторой специальной окружностью и пойдет речь.

Четырехугольники бывают не только вписанные, но и описанные. Как с такими зверями бороться, на этой неделе мы и обсудим. Мы поговорим про стандартные (и не очень) критерии описанности, потренируемся решать задачи.

На этой неделе мы докажем свойства подобия, опираясь на понятие площади. Мы поговорим про то, как подобие связано со вписанными четырехугольниками и крайне неожиданным образом применим все ранее обсуждаемые вещи для доказательства теоремы о симедиане.

Продолжим разговор о подобии, определив соответствующее преобразование плоскости — гомотетию. Обсудим лемму Архимеда, теорему о гомотетичных треугольниках и некоторые другие интересные результаты.

На этом занятии мы введем понятие степени точки относительно окружности, а также потренируемся использовать ее для доказательства вписанности четырехугольников.

Заключительная неделя курса посвящена понятию радикальной оси двух неконцентрических окружностей. Мы научимся применять радикальные оси для решения различных задач: доказательства коллинеарности, перпендикулярности и конкурентности. В качестве яркого завершения курса мы докажем теоремы Гаусса и Обера.