Трижды совершенный курс по геометрии

На этом занятии мы определим точку Микеля четверки прямых общего положения и обсудим некоторые ее свойства, используя лишь элементарные геометрические знания.

Мы обсудим понятие прямой Штейнера и точки анти-Штейнера. Узнаем про связь точки Микеля с указанными объектами и потренируемся применять полученные знания для решения задач.

Определение гомотетии как преобразования подобия. Построения циркулем и линейкой при помощи гомотетии. Теорема о гомотетичных треугольниках. Лемма Архимеда. Связь вписанной и вневписанной окружности треугольника. Теорема о трех колпаках. Новые неожиданные связи между инцентром, ex-центром и ортоцентром. Хитрые конкурентности.

На этом занятии мы обсудим некоторое понятие, обобщающее гомотетию — поворотную гомотетию. Мы обнаружим множество взаимосвязей с ранее обсуждаемыми темами, обобщим обе леммы о воробьях и научимся использовать поворотную гомотетию в неочевидных ситуациях.

Мы обсудим изогональное сопряжение, используя которое без труда докажем теорему о симедиене и некоторые другие приятные результаты. Помимо этого мы определим педальные окружности и научимся видеть их в задачах.

Считать нужно уметь. Но нужно уметь это делать так, чтобы по пути не возникали километровые выкладки. Мы обсудим некоторые стандартные приемы, которые сводят трудные задачи к ПРОСТОМУ счету в отрезках.

Один из наиболее простых и элегантных методов подсчета задач основан на умелом применении теоремы синусов и ее следствий. Мы потренируемся применять теорему синусов для решения задач.

В этот раз нас ожидает лемма о луче, теорема Чевы в форме синусов, а также лемма об отношении (ratio-lemma).

На этой неделе мы подробно поговорим о свойствах симедианы и свойствах гармонического четырехугольника, не связанных с проективной геометрией и двойными отношениями. Мы обсудим множество взаимосвязей с уже известными нам объектами.

Конструкции с окружностью Аполлония не часто удается разглядеть в задачах. Увы, многие люди знают лишь определение этого объекта и не понимают, как он помогает решать трудные задачи. Мы установим взаимосвязь этих окружностей со многими объектами курса и докажем несколько крайне нетривиальных теорем.

Движение точек является модным ныне методом решения геометрических задач, используемым профессиональными олимпиадниками. В заключительной части курса мы познакомимся с азами движения точек на примере линейных динамик.

Продолжим изучать движение точек, научившись при помощи него решать задачи с окружностями. Тут нам понадобятся знания про поворотную гомотетию, которыми мы предварительно обзавелись.