ПРОГРАММА КУРСА «ТРИЖДЫ СОВЕРШЕННЫЙ КУРС ПО ГЕОМЕТРИИ»


III СТУПЕНЬ


1. Проективные преобразования
На этом занятии мы продолжим говорить о проективной геометрии, определив понятие проективной плоскости и ее преобразований. Мы обсудим, чего можно добиться при использовании проективного преобразования, и как это помогает решать задачи. В частности, учащимся будет предложено доказать все стандартные проективные теоремы.


2. Двойные отношения 
На этом занятии мы начнем долгий путь изучение проективной геометрии. Мы определим понятие проективной прямой,  двойного отношения четырех точек на прямой, в пучке прямых и на окружности; научимся их перебрасывать и поговорим о гармонических четверках.


3. Гармонические четверки
Введем понятие гармонической четверки. Обсудим критерии гармоничности и изучим самые частые применения гармонических четверок в решении задач.

4. Гомографии, начало проективного движения
Мы уже достаточно подготовлены для того, чтобы изучать функции, сохраняющие двойные отношения, более структурно. Мы введем понятие гомографии, обсудим различные ее примеры, потренируемся проективно двигать задачи не говоря слово движение.

5. Касающиеся окружности
В течение недели мы порешаем разные задачи на касание окружностей. В частности мы докажем популярную лемму Саваямы и научимся применять ее в задачах не совсем в стандартном виде.

6. Изогальное сопряжение в четырехугольнике
На этой неделе мы обсудим изогональное сопряжение относительно четырехугольника. Мы докажем основные критерии существования изогонально сопряженной точки и научимся видеть их в задачах.

7. Преобразование Клоусона
Нередко в решении задач помогает использование композиции инверсии и симметрии. Мы поговорим об этом преобразовании и его обобщении, связанном с изогональным сопряжением — преобразованием Клоусона.


8. Промежуточный разнобой
Знание фактов и техник это хорошо, но одним из самых важных навыков на олимпиадах является умение подобрать правильную отмычку, когда неизвестно заранее, на какую тему будет задача.


9. Однородные координаты
В заключительной части нашего курса мы познакомим читателя с мощным методом решения геометрических задач — методом полиномиального движения точек. Неделя будет посвящена наработке необходимой алгебраической базы, которая понадобится для изучения дальнейшей теории.


10. Начало полиномиального движа
На этой неделе мы познакомимся с основными идеями движения точек: леммой о сложении степеней, теореме об удвоении степени точки на окружности, обсудим связь с гомографиями. После этого участники курса потренируются уничтожать крайне трудные задачи.


11. Продолжение полиномиального движа
Мы продолжим разговор о движе, введя понятие степени зависимости угла и дуги. Обсудим связь полиномиального движа с синусным счетом и достигнем просветления.

12. Итоговый разнобой
Закрепление и применение всего, что вы узнали в течение курса.