ПРОГРАММА КУРСА «ТРИЖДЫ СОВЕРШЕННЫЙ КУРС ПО ГЕОМЕТРИИ»
III СТУПЕНЬ
1. Аффинные преобразования
Наш курс мы начнем с понятия параллельных проекций и аффинных преобразований плоскости. Мы подробно обсудим, к какому виду привести четырехугольник и треугольник, используем это для решения задач. В частности, мы докажем знаменитую теорему Ньютона. Участников также ожидает множество задач на повторение программы второй ступени.
2. Линейные функции
Естественно продолжим разговор про аффинные преобразования линейными функциями, или, если говорить правильно, аффинными функционалами. Обсудив базовые свойства и примеры линейных функций мы приведем альтернативное доказательство теоремы Ньютона, а также установим важные критерии принадлежности/перпендикулярности прямой OI, докажем обобщенное неравенство Эрдеша-Морделла.
3. Проективные преобразованияНа этом занятии мы начнем говорить о проективной геометрии, определив понятие проективной плоскости и ее преобразований. Мы обсудим, чего можно добиться при использовании проективного преобразования, и как это помогает решать задачи. В частности, учащимся будет предложено доказать все стандартные проективные теоремы.
4. Двойные отношенияНа этом занятии мы начнем долгий путь изучение проективной геометрии. Мы определим понятие проективной прямой, двойного отношения четырех точек на прямой, в пучке прямых и на окружности; научимся их перебрасывать. Приведем альтернативное доказательство теоремы о бабочке и ее обобщения И.Ф.Шарыгина.
5. Гармонические четверкиВведем понятие гармонической четверки. Обсудим критерии гармоничности и изучим самые частые применения гармонических четверок в решении задач. Узнаем наконец, почему гармонический четырехугольник так называется.
6. Полярное соответствиеПрименим инверсию для определения милого и довольно полезного преобразования, которое превращает точки в прямые, а прямые в точки. Мы обсудим понятие двойственности и научимся применять его для решения нетривиальных задач.
Мы ожидаем от слушателей не только знание бэкграунда второй ступени, но и нашего спецкурса по инверсии!7. Основы проективного движенияМы уже достаточно подготовлены для того, чтобы изучать функции, сохраняющие двойные отношения, более структурно. Мы введем понятие гомографии, обсудим различные ее примеры, потренируемся проективно двигать задачи не говоря слово движение.
8. Продолжение проективного движенияОбсудив связь с линейным движением, мы получим новые возможности применения движа для решения задач. Среди прочего, мы научимся проверять одно положение дважды, используя понятие скорости или трижды, используя понятие ускорения. Также мы узнаем, как при помощи проективного движения доказывать касание окружностей.
9. Проективная инволюцияСвязь проективной геометрии и инверсий. Определение проективной инволюции на прямой и окружности. Классификация проективных инволюций. Метод перебрасывания инволюций для решения задач.
10. КоникиАлгебраическое определение коники. Построение коники по пяти точкам. Двойные отношения на кониках. Прямая и двойственная лемма Соллертинского. Проективное движение с использованием коник.
11. Теорема Дезарга о проективной инволюции ТДИ: прямая, двойственная, смешанная. В основном мы будем учиться решать классические задачи, используя частные случаи прямой и двойственной ТДИ. Также мы обсудим, как ТДИ помогает доказывать некоторые сложные факты про коники.
12. Геометрические свойства кривых второго порядкаВ заключительной части курса мы поговорим о геометрических свойствах равнобоких гипербол и парабол. Обсудим, как факты про коники “прячутся” в современных олимпиадах. Докажем знаменитую теорему Емельяновых, Фонтане и некоторые другие красивейшие результаты.