ПРОГРАММА КУРСА «ТРИЖДЫ СОВЕРШЕННЫЙ КУРС ПО ГЕОМЕТРИИ»
III СТУПЕНЬ
1. Проективные преобразования На этом занятии мы начнем говорить о проективной геометрии, определив понятие проективной плоскости и ее преобразований. Мы обсудим, чего можно добиться при использовании проективного преобразования, и как это помогает решать задачи. В частности, учащимся будет предложено доказать все стандартные проективные теоремы. 2. Двойные отношения На этом занятии мы начнем долгий путь изучение проективной геометрии. Мы определим понятие проективной прямой, двойного отношения четырех точек на прямой, в пучке прямых и на окружности; научимся их перебрасывать и поговорим о гармонических четверках. 3. Гармонические четверкиВведем понятие гармонической четверки. Обсудим критерии гармоничности и изучим самые частые применения гармонических четверок в решении задач. Узнаем, почему гармонический четырехугольник так называется.
4. Основы проективного движенияМы уже достаточно подготовлены для того, чтобы изучать функции, сохраняющие двойные отношения, более структурно. Мы введем понятие гомографии, обсудим различные ее примеры, потренируемся проективно двигать задачи не говоря слово движение.5. Понятие инверсии Определение инверсии относительно окружности и ее основные свойства. Использование инверсии для распрямления окружностей, упрощения задач, получения новых формул. В качестве одного из следствий простейших свойств инверсии мы получим доказательство неравенства Птолемея.
6. Инверсии, как преобразования плоскости Понятие плоскости с одной бесконечно удаленной точкой. Обобщенные окружности, определение угла между обобщенными окружностями. Пучки окружностей. Поризм Штейнера.
7. Инверсия треугольника На этом занятии мы познакомимся с несколько иным подходом применения инверсии, который оказывается крайне эффективным при решении задач — инверсии в вершине треугольника. Мы научимся понимать, что происходит с картинкой после инверсии и использовать это для решения задач.
8. Полярное соответствиеПрименим инверсию для определения милого и довольно полезного преобразования, которое превращает точки в прямые, а прямые в точки. Мы обсудим понятие двойственности и научимся применять его для решения нетривиальных задач.
9. Проективная инволюцияСвязь проективной геометрии и инверсий. Определение проективной инволюции на прямой и окружности. Классификация проективных инволюций. Метод перебрасывания инволюций для решения задач.
10. КоникиАлгебраическое определение коники. Построение коники по пяти точкам. Двойные отношения на кониках. Прямая и двойственная лемма Соллертинского. Проективное движение с использованием коник.
11. Теорема Дезарга о проективной инволюции ТДИ: прямая, двойственная, смешанная. В основном мы будем учиться решать классические задачи, используя частные случаи прямой и двойственной ТДИ. Также мы обсудим, как ТДИ помогает доказывать некоторые сложные факты про коники.
12. Геометрические свойства кривых второго порядкаВ заключительной части курса мы поговорим о геометрических свойствах равнобоких гипербол и парабол. Обсудим, как факты про коники “прячутся” в современных олимпиадах. Докажем знаменитую теорему Емельяновых, Фонтане и некоторые другие красивейшие результаты.