Герман Вейль сказал: "За душу каждого математика борется ангел чистой геометрии и дьявол абстрактной алгебры". Однако иногда эти двое выступают сообща. В данном курсе мы как раз расскажем о теории, которая лежит на стыке алгебры, геометрии и теории чисел и требует привлечения методов и идей из казалось бы разных областей математики.
Основным объектом для нас будут цепные дроби — один из фундаментальных объектов математики, возникший еще в Древней Греции при попытке людей ответить на естественный вопрос: как приблизить заданное иррациональное число рациональным? Изучение этого вопроса привело к бурному исследованию цепных дробей, апофеозом которого стала теорема Лагранжа о периодичности разложения квадратичной иррациональности в цепную дробь. После этого теория цепных дробей оставалась практически без развития в течение более полутора веков, пока в конце XX в. в работах Цучихаши, Арнольда и Коркиной она не получила неожиданное развитие в виде обобщения на многомерный случай, после чего были найдены неожиданные связи этой теории с самыми разными разделами математики.
Нашей главной целью в данном курсе будет доказательство уже упомянутой теоремы Лагранжа о периодичности цепных дробей квадратичных иррациональностей. Причем мы дадим сразу два доказательства. Первое будет отвечать классическому развитию теории цепных дробей и будет использовать прежде всего алгебраические конструкции. Второе доказательство носит геометрический характер, и именно это доказательство привело математиков к открытию дальнейших результатов в этой области. В заключение спецкурса мы поговорим о связи цепных дробей с уравнением Пелля (в частности, научимся его решать).