Все школьники в 8 классе знакомятся с квадратными корнями. Прежде всего квадратные корни нужны, чтобы записывать решения квадратных уравнений: формула через дискриминант как раз содержит квадратный корень. Но перед этим часто даются какие-то технические задания. Одним из них является задание типа «Избавьтесь от иррациональности в знаменателе». Почему-то учителям очень не нравится ответ в виде 1/√2, и они настаивают на ответе √2/2…
Хотите узнать, почему от вас это требовали? Оказывается, избавление от иррациональности в знаменателе тесно связано с одной из красивейших областей в математике — теорией расширения полей. Эта область включает в себя самые разные сюжеты: и иррациональности, и комплексные числа, и основную теорему арифметики, и диофантовы приближения, и многое-многое другое…
Мы начнем с ответа на вопрос о том, зачем же нас заставляют избавляться от иррациональностей в знаменателе, и научимся делать это некоторым каноническим образом. Затем мы рассмотрим так называемые Гауссовы числа и числа Эйзенштейна и посмотрим, как они могут быть использованы в теории чисел (в том числе докажем Великую теорему Ферма для n = 3). Наконец, мы обсудим классический вопрос о том, почему решения алгебраических уравнений с целыми коэффициентами плохо приближаются рациональными числами и докажем теорему Лиувилля, из которой выведем существование трансцендентных чисел, т.е. чисел, которые не являются корнями алгебраических уравнений с целыми коэффициентами.
Если останется время, мы поговорим о современных математических вопросах: теореме Линдемана-Вейерштрасса и теореме Гельфонда, из которых следует решение седьмой проблемы Гильберта.