Узлы и косы — один из самых популярных объектов изучения в современной математике. Они возникают в ее самых различных областях, а также в областях математической и теоретической физики. Несмотря на фундаментальную роль этих объектов в современной математике, определяются они весьма просто. А именно, узел — это замкнутая кривая без самопересечений в пространстве. Коса определяется чуть сложнее: коса из n нитей состоит из n непересекающихся кривых, соединяющих две пары из n точек, расположенных на двух параллельных плоскостях.
Оказывается, всякий узел — это замкнутая коса. Таким образом, изучение узлов можно проводить через изучение кос и наоборот. Изучение узлов через косы удобно с той точки зрения, что на косах можно определить некоторую алгебраическую структуру (косы можно умножать и обращать аналогично числам, отличным от нуля).
В своем спецкурсе я расскажу про то, как это сделать. Мы также поговорим про проблемы распознавания узлов. Дело в том, что отличить один узел от другого (с точностью до некоторых преобразований) — сложная и до сих пор нерешенная задача. Стоит отметить, что обычно мы работаем не напрямую с узлами, а с их проекциями на плоскость, называемыми диаграммами узлов.
Доказать, что два узла неэквивалентны, можно с помощью инвариантов узлов: если некоторая величина сохраняется при разрешенных преобразованиях узла, и ее значения для двух данных узлов различны, то эти узлы неэквивалентны.
На занятиях я расскажу про различные инварианты узлов и сделаю акцент на полиномиальные инварианты узлов: с каждым узлом мы свяжем некоторый многочлен и научимся его вычислять. Причем сделать это можно разными способами — и я покажу, как.
От слушателей предполагается интуитивное понимание непрерывности и непрерывной деформации — но каких-либо знаний по топологии не предполагается.