Точки на эллиптических кривых над конечным полем

Числа точек на эллиптических кривых над конечным полем часто обладают интересными арифметическими свойствами. Например, если $p = 4k + 1$ — простое число, а число точек на эллиптической кривой $y^2 = x^3 - x$ равно $p + 1 - A$, то $4p = A^2 + B^2$ для некоторого целого числа $B$. Это один из способов доказывать рождественскую теорему Ферма, а появляющиеся суммы символов Лежандра называются суммами Якобшталя.

Этот факт обобщается и на другие кривые. Например, если рассматривать кривую $y^2 = x^3 - 1$, то вы научитесь представлять $p$ в виде $C^2 + 3D^2$.

Как вышенаписанные кривые связаны с соответствующими квадратичными формами? Например, для первой кривой отображение $(x, y) \to (-x, iy)$ сохраняет соотношение между $x$ и $y$, а поле, порождённое $i$ над рациональными числами, — это как раз гауссовы числа, над которыми раскладывается на множители выражение $A^2 + B^2$.

В общем случае (по крайней мере, над полем характеристики 0) кривые, обладающие аналогичным свойством, называются эллиптическими кривыми с комплексным умножением, и для них можно получить аналогичное соотношение, в котором появляется число точек mod p.

Я дам обзор результатов, связанных с этим фактом, и расскажу, причём тут простые значения многочлена $x^2 + x + 41$.